Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|x|＜π），在一周期內(nèi)，當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值3，當(dāng)x=時(shí)，y取得最小值-3，
求（1）函數(shù)的解析式．
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[-，]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題干得出A，同一周期內(nèi)兩個(gè)最值點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值是半個(gè)T，從而得出ω，代入最高點(diǎn)坐標(biāo)令ωx+Φ=求出φ，得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）知：ω=2，φ=，把2x+看作X分別代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心坐標(biāo)分別求出x得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）由x的范圍得2x+的范圍，由正弦函數(shù)的圖象得sin（2x+）的范圍，由不等式得3sin（2x+）的范圍，即函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：（1）由題設(shè)知，A=3，=-=，∴T=π，∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），∵3sin（2×+φ）=3，∴sin（+φ）=1，
∴+φ=，∴φ=，，∴f（x）=3sin（2x+）；
（2）由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得-+kπ≤x≤+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]（k∈Z），
由2x+=+kπ得x=+，
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x=+（k∈Z），
由2x+=kπ得x=-+（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（-+，0）（k∈Z）；
（3）∵x∈[-，]，∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，∴3sin（2x+）∈[，3]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇，3]．
點(diǎn)評(píng)：求y=Asin（ωx+φ）的解析式，條件不管以何種方式給出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心坐標(biāo)時(shí)，要把ωx+φ看作整體，分別代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心坐標(biāo)分別求出x，這兒利用整體的思想；求y=Asin（ωx+φ）的值域時(shí)，從x的范圍由里向外擴(kuò)，一直擴(kuò)到
Asin（ωx+φ）的范圍，即函數(shù)f（x）的值域．