Question

已知橢圓C：，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，，離心率．過直線l：上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x²+y²=r²上一點(diǎn)P（x，y）處的切線方程為：xx+yy=r²”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x，y）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)（）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由過圓上一點(diǎn)的切線方程，我們不難類比推斷出過橢圓上一點(diǎn)的切線方程．
（2）由（1）的結(jié)論，我們可以設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出切線方程，又由M為直線l：上任意一點(diǎn)，故可知M為兩條切線與l的公共交點(diǎn)，消參后即得答案．
（3）由（2）中結(jié)論，我們可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)l的方程我們可以計(jì)算出AB邊上的高，再由弦長公式計(jì)算出AB的長度，代入三角形面積公式即可．
解答：解：（1）類比過圓上一點(diǎn)的切線方程，可合情推理：
過橢圓（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x，y）處的切線方程為．
（2）由，離心率
得，a=3∴b=1
∴橢圓C的方程為：
l的方程為：
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M的縱坐標(biāo)為t，即，
由（1）的結(jié)論
∴MA的方程為
又其過點(diǎn)，
∴
同理有
∴點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線上；
當(dāng)，y=0時(shí)，方程恒成立，
∴直線AB過定點(diǎn)
（3）t=1∴消去y得，
∴，x₁x₂=0，


∴．
點(diǎn)評：本題綜合的考查了橢圓與直線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，本題的切入點(diǎn)是由類比思想探究出的過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，運(yùn)用設(shè)而不求的方法探究出切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足的共同性質(zhì)，從而得到兩切點(diǎn)確定的直線系的方程，并由直線系方程得到結(jié)論直線過定點(diǎn)；已知三角形一頂點(diǎn)坐標(biāo)和對邊所在的直線，我們可以代入點(diǎn)到直線距離公式求出該邊上三角形的高，再由邊長不難得到面積．