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6.已知圓M:(x-m)2+y2=1的切線l,當(dāng)l的方程為y=1時(shí),直線l與橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)相切,且橢圓的離心率為22
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)m<0時(shí),設(shè)S表示三角形的面積,若M的切線l:y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,當(dāng)tan∠POQ=3S△POQ時(shí),點(diǎn)A在拋物線y2=-22x上,點(diǎn)B在圓M上,求|AB|的最小值.

分析 (1)由題意可得b=1,再由離心率公式和a,b,c的關(guān)系,解得a,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)y=kx+2與橢圓C的方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,判別式大于0,運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示可得OPOQ=23,求得k,再由直線和圓相切的條件:d=r,求得m,由對(duì)稱性可得,|AB|=|MA|-|MB|=|MA|-1,將|AB|的最小問題,轉(zhuǎn)化為|MA|的最小問題,由兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法即可得到.

解答 解:(1)由直線l:y=1與橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)相切,可得b=1,
由e=ca=22,a2-c2=b2=1,
解得a=2,可得橢圓方程為x22+y2=1;
(2)y=kx+2與橢圓C的方程聯(lián)立,可得(1+2k2)x2+42kx+2=0,
即有△=32k2-8(1+2k2)>0,解得k212
tan∠POQ=3S△POQ,即為sinPOQcosPOQ=32OP•OQ•sin∠POQ,
即有OPOQ=23,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-42k1+2k2,x1x2=21+2k2,
即有x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2+2k(x1+x2
=(1+k2)•21+2k2+2+2k(-42k1+2k2)=23
解得k=±1,
由切線l:y=kx+2與圓M相切,可得|mk+2|1+k2=1,(m<0),
解得m=-2
由于圓M:(x+22+y2=1的圓心M(-2,0),半徑r=1,
由對(duì)稱性可得,|AB|=|MA|-|MB|=|MA|-1,
由于A在y2=-22x上,設(shè)A的坐標(biāo)為(-24y2,y),
∴|MA|=24y2+22+y2=2+18y4,
當(dāng)y=0時(shí),等號(hào)成立.
由圓的半徑為1,
所以|AB|的最小值為2-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法:注意運(yùn)用離心率公式和直線與橢圓相切,考查直線和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,同時(shí)考查直線和圓相切的條件,以及圓的對(duì)稱性,考查二次函數(shù)的最值的求法,屬于中檔題.

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