Question

15．正項等比數(shù)列{a_n}滿足：2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，則2a₆+a₅的最小值是（　�。�

• A． 64
• B． 32
• C． 16
• D． 8

Answer 1

分析 設正項等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，由2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，可得（2a₂+a₁）（q²-1）=8．（q≠1）．則2a₆+a₅=q⁴（2a₂+a₁）=8（q²-1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$+16=f（q），通過對q分類討論，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設正項等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，
∵2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，
∴（2a₂+a₁）（q²-1）=8．（q≠1）．
則2a₆+a₅=q⁴（2a₂+a₁）=$\frac{8{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=8（q²+1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$=8（q²-1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$+16=f（q），
q＞1時，f（q）≥$8×2\sqrt{（{q}^{2}-1）×\frac{1}{{q}^{2}-1}}$+16=32，當且僅當$q=\sqrt{2}$時取等號．
0＜q＜1時，f（q）=-$8[（1-{q}^{2}）+\frac{1}{1-{q}^{2}}]$+16≤0，舍去．
綜上可得：2a₆+a₅的最小值是32．
故選：B．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質、基本不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．