Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過橢圓C的左焦點且傾角為60°的直線與圓x²+y²=a²相交，所得弦的長度為$\sqrt{7}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 運用橢圓的離心率公式和直線和圓相交的弦長公式，解方程可得a，b，c，進而得到橢圓方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
橢圓C的左焦點（-c，0）且傾斜角為60°的直線方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
圓心到直線的距離為d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
由圓的弦長公式可得$\sqrt{7}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3}{4}{c}^{2}}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和圓的弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．