某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)P與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)t∈[14,40]時,曲線是函數(shù)y=logα(x-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)P大于等于80時聽課效果最佳.
(1)試求P=f(t)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?
請說明理由.

【答案】分析:(1)先利用所給函數(shù)圖象求出當(dāng)t∈(0,14]時,是一段二次函數(shù)的圖象,可設(shè)f(t)=c(t-12)2+82(c<0)進(jìn)行求解;當(dāng)t∈(14,40]時,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=loga(x-5)+83,求解即得其解析式最后利用分段函數(shù)的形式寫出求P=f(t)的函數(shù)關(guān)系式即可;
(2)欲知老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳,只須令p≥80,求出相應(yīng)的x值即可,即老師在相應(yīng)的時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳.
解答:解:(1)t∈(0,14]時,設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),
將(14,81)代入得c=-
t∈(0,14]時,p=f(t)=-(t-12)2+82(4分)
t∈(14,40]時,將(14,81)代入y=loga(x-5)+83,得a=(6分)
.(7分)
(2)t∈(0,14]時,-(t-12)2+82≥80
解得12-2≤t≤12+2
∴t∈[12-2,14](11分)
t∈[14,40]時,(t-5)+83≥80解得5<t≤32,
∴t∈[14,32],∴t∈[12-2,32],(15分)
即老師在t∈[12-2,32]時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳.(16分)
點(diǎn)評:本題考查了分段函數(shù),以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.解決實(shí)際問題關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.
練習(xí)冊系列答案
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(1) 試求的函數(shù)關(guān)系式;

(2) 老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?請說明理由.

 

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(1) 試求的函數(shù)關(guān)系式;

(2) 老師在什么時段內(nèi)安排重點(diǎn)內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?

請說明理由.

 

 

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所示的曲線.當(dāng)時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)時,曲線

是函數(shù)(,)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時學(xué)習(xí)效果最佳.

 

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(2)教師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容,能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳?請說明理由.

 

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40分鐘的一節(jié)課中,注意力指數(shù)p與聽課時間t(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖

所示的曲線.當(dāng)時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)時,曲線

是函數(shù)(,)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時學(xué)習(xí)效果最佳.

 (1)試求的函數(shù)關(guān)系式;

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