Question

已知函數(shù)f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx+2的圖象過點(

π

4

，2

3

)，將f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位后得到函數(shù)y=g（x）圖象．
（1）求g（x）的表達式，并求出g（x）的最小正周期；
（2）寫出函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求g（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式為4sin（2x-

π

6

），向左平移

π

4

個單位后得到函數(shù)y=g（x）=4cos（2x-

π

6

），由此求得函數(shù)y=g（x）的最小正周期．
（2）令2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，k∈z，解出x的范圍，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）由于g（x）在[-

π

4

，

π

12

]上 單調(diào)地增，在[

π

12

，

π

6

] 上單調(diào)遞減，故函數(shù)g（x）的最大值為g（

π

12

），最小值為 g（-

π

4

）和g（

π

6

）中的較小者，從而得到g（x）的值域．

解答：解：（1）把點(

π

4

，2

3

)代入函數(shù)f（x）的解析式可得 2

3

=-4cos2

π

4

+4

3

asin

π

4

cos

π

4

+2=2

3

a，∴a=1．
故 f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx+2=-2（1+cos2x）+2

3

sin2x+2=4（-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=4sin（2x-

π

6

）．
將f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位后得到函數(shù)y=g（x）=4sin[2（x+

π

4

）-

π

6

]=4cos（2x-

π

6

）．
故函數(shù)y=g（x）的最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）由 2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，k∈z，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）由（2）可得g（x）在 [-

π

4

，

π

12

] 上 單調(diào)地增，在[-

π

12

，

π

6

]上單調(diào)遞減，
故函數(shù)g（x）的最大值為g（

π

12

）=4cos0=4．
又g（-

π

4

）=4cos（-

π

2

-

π

6

）=4cos

2π

3

=-2，g（

π

6

）=4cos

π

2

=0，
故g（x）的值域為[-2，4]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，余弦函數(shù)的定義域、值域，屬于中檔題．