Question

（2001•上海）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q＞0的等比數(shù)列，S_n是它的前n項(xiàng)和，若

lim

n→+∞

Sn=7，則此數(shù)列的首項(xiàng)a₁的取值范圍為

（0，7）

．

Answer 1

分析：無(wú)窮遞縮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限存在，推出

lim

n→+∞

Sn=

a1

1-q

=7，根據(jù)q的范圍，求出數(shù)列的首項(xiàng)a₁的取值范圍即可．

解答：解：若該等比數(shù)列是一個(gè)遞增的等比數(shù)列，則Sn不會(huì)有極限． 因此這是一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，則0＜|q|＜1 亦即，-1＜q＜0且0＜q＜1．
而等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
由于其中0＜q＜1，因此

lim

n→∞

qn=0，
而根據(jù)極限的四項(xiàng)運(yùn)算法則有，

lim

n→+∞

Sn= 

a1

1-q

 =7，
因此a₁=7（1-q）=7-7q 解得a₁∈（0，7）．
故答案為：（0，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限問(wèn)題，注意公比的范圍，是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．