(2009•中山模擬)如圖,設(shè)平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足.分別為B,D,若增加一個(gè)條件,就能推出BD⊥EF.現(xiàn)有①AC⊥β;②AC與α,β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.那么上述幾個(gè)條件中能成為增加條件的個(gè)數(shù)是( 。
分析:①因?yàn)锳C⊥β,且EF?β所以AC⊥EF.又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB.因?yàn)锳C∩AB=A,所以EF⊥平面ACBD,因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF.
②此時(shí)AC與EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF與平面ACDB不垂直,所以就推不出EF與BD垂直.
③因?yàn)镃D⊥α且EF?α所以EF⊥CD.所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直,AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上,所以EF⊥AC.因?yàn)锳C∩CD=C,所以EF⊥平面ACBD,因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF.
④若AC∥EF,則AC∥平面α,所以BD∥AC,所以BD∥EF.
解答:解:①因?yàn)锳C⊥β,且EF?β所以AC⊥EF.
又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB.
因?yàn)锳C∩AB=A,AC?平面ACBD,AB?平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,
因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF.
所以①可以成為增加的條件.
②AC與α,β所成的角相等,AC與EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF與平面ACDB不垂直,所以就推不出EF與BD垂直.所以②不可以成為增加的條件.
③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
因?yàn)镃D⊥α且EF?α所以EF⊥CD.
所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直,
AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC
因?yàn)锳C∩CD=C,AC?平面ACBD,CD?平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,
因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF.
所以③可以成為增加的條件.
④若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF.
所以④不可以成為增加的條件.
答案為:①③.
故選B.
點(diǎn)評:本題是個(gè)開放性的命題,解決此類問題關(guān)鍵是熟記相關(guān)的平行與垂直的定理,準(zhǔn)確把握定理中的條件,這種題型比較注重基礎(chǔ)知識的靈活變形,是個(gè)易錯(cuò)題.
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FM
FN
,動(dòng)點(diǎn)P滿足
MP
OF
,
NO
OP
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(2)過點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)
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OA
OB
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②設(shè)
AF
FB
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5
]
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