Question

10．在直角坐標系xOy中，直線l過M（2，0），傾斜角為α（α≠0）．以O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C交于A、B兩點，且|MA|=2|MB|，求直線l的斜率k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求直線的參數方程，結合ρsin²θ=4cosθ得ρ²sin²θ=4ρcosθ，即可得解曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）把x=2+tcosα，y=tsinα代入y²=4x，得（sin²α）t²-（4cosα）t-8=0．設A、B兩點對應的參數分別為t₁與t₂，可求${t_1}+{t_2}=\frac{4cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=-\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，又|MA|=2|MB|，消去t₁與t₂即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）直線的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數），
由ρsin²θ=4cosθ得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為y²=4x…（5分）
（Ⅱ）把x=2+tcosα，y=tsinα代入y²=4x，得（sin²α）t²-（4cosα）t-8=0．
設A、B兩點對應的參數分別為t₁與t₂，
則${t_1}+{t_2}=\frac{4cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=-\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，
易知t₁與t₂異號，
又∵|MA|=2|MB|，
∴t₁=-2t₂．消去t₁與t₂，
∴可得：tanα=±2，即k=±2．…（10分）

點評 本題考查了直線的參數方程、簡單曲線的極坐標方程的應用，考查了數形結合思想和轉化思想的應用，屬于中檔題．