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1.(1)設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;
(2)已知a>0,b>0且a+b>2,求證:1+ba1+a中至少有一個(gè)小于2.

分析 (1)先作差,然后利用綜合法的思想證明即可.
(2)利用反證法,假設(shè)\frac{1+b}{a},\frac{1+a}都不小于2,推出矛盾結(jié)果即可.

解答 (1)證明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).
因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,
即3a3+2b3≥3a2b+2ab2
(2)證明:假設(shè)1+ba1+a都不小于2,則1+ba21+a2
因?yàn)閍>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b)即2≥a+b,
這與已知a+b>2相矛盾,故假設(shè)不成立.
綜上\frac{1+b}{a},\frac{1+a}中至少有一個(gè)小于2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明,作差法與反證法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力.

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