Question

已知二次函數(shù)，，的最小值為．

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵設(shè)，若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)，若此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.[

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：(1)由可設(shè)，再由的最小值求a的值；（2）首先對(duì)

二次項(xiàng)系數(shù)分、、三種情況討論，然后確定對(duì)稱軸與給定區(qū)間

端點(diǎn)的關(guān)系；（3）要滿足題意，須有有解，且無(wú)解.然后求

的最小值，令，但不屬于的值域，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍。

⑴ 由題意設(shè)，

∵ 的最小值為， ∴ ，且， ∴ ，

∴ .

⑵ ∵ ，

①當(dāng)時(shí)，在[?1, 1]上是減函數(shù)，∴ 符合題意.

② 當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸方程為：，

�。┊�(dāng)，即 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，

由， 得 ， ∴ ；

ⅱ）當(dāng)， 即時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，

由，得 ， ∴.

綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

⑶法一：∵ 函數(shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，必須且只須有

有解，且無(wú)解.

∴ ，且不屬于的值域，

又∵ ，

∴ 的最小值為，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721153443917625/SYS201411172115450645970561_DA/SYS201411172115450645970561_DA.002.png">，

∴ ，且

∴ 的取值范圍為.

法二：，令，

必有，得，

因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，，

得，即，又（否則函數(shù)定義域?yàn)榭占�，不是函�?shù)），

的取值范圍是。

考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；（2）二次項(xiàng)系數(shù)及二次函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間引起的分類討論；（3）構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。