Question

如圖，以F₁(-2，0)為焦點(diǎn)的橢圓的離心率e=，它與拋物線y²=x交于A₁、A₂兩點(diǎn)，以O(shè)A₁、OA₂為兩漸近線的雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一定點(diǎn)Q(2，0)的距離的最小值為1，求此雙曲線方程.

Answer 1

解：依題意知橢圓中A=3,b=，所以橢圓的方程為.

?

聯(lián)立解得A₁（3，2），A₂（3，-2）.                                                  ?

所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.?

故雙曲線方程為4x²-9y²=λ(λ≠0).                                                         ?

①若λ＜0,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，其頂點(diǎn)與Q之間距離大于2，顯然與題意不符，故λ＜0舍去.                                                                                                   ?

②λ＞0時(shí)，雙曲線為=1，其一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（，0）.?

當(dāng)＞2，即λ＞16時(shí)，|PQ|_Min=|AQ|=-2=1λ=36.                         ?

當(dāng)≤2，即0＜λ≤16時(shí)，|PQ|²=(x-2)²+y²=x²-4x+4-=(x²-x)+4-.?

∴當(dāng)x=時(shí)，|PQ|_Min²==1,解得λ=.?

（此時(shí)λ=＜16，符合題意）                                                                      ?

由上可知，所求雙曲線方程為或=1.