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5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,AB=1,當直線PD與平面PBC所成角的正弦值最大時,該幾何體的外接球的體積為\frac{\sqrt{3}π}{2}

分析 建立空間直角坐標系,使用向量法求出PD與平面PBC所成角的正弦關(guān)于PA的函數(shù),使用基本不等式知識得出線面角的正弦取得最大值時PA的值,計算PC,則PC為外接球的直徑.

解答 解:以A為坐標原點,建立空間坐標系如圖所示:
設(shè)PA=h,則P(0,0,h),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).
\overrightarrow{BC}=(0,1,0),\overrightarrow{BP}=(-1,0,h).\overrightarrow{DP}=(0,-1,h).
設(shè)平面PBC的發(fā)行量為\overrightarrow{n}=(x,y,z).則\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0
\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+hz=0}\end{array}\right.,令z=1,得\overrightarrow{n}=(h,0,1).
\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=h,
則直線PD與平面PBC所成角的正弦值為cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{DP}>=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DP}|}=\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+1}\sqrt{{h}^{2}+1}}=\frac{h}{{h}^{2}+1}=\frac{1}{h+\frac{1}{h}}
∴當h=1時,直線PD與平面PBC所成角的正弦值取得最大值\frac{1}{2}
連結(jié)AC,則AC=\sqrt{2},PC=\sqrt{A{C}^{2}+P{A}^{2}}=\sqrt{3}
∴外接球的半徑r=\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{3}}{2}
∴外接球的體積V=\frac{4}{3}π{r}^{3}=\frac{4}{3}π×\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}π}{2}
故答案為:\frac{\sqrt{3}π}{2}

點評 本題考查了線面角的計算,棱錐與外接球的關(guān)系,關(guān)于空間角的計算通常使用空間向量來解決,屬于中檔題.

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