Processing math: 100%
5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,AB=1,當直線PD與平面PBC所成角的正弦值最大時,該幾何體的外接球的體積為3π2

分析 建立空間直角坐標系,使用向量法求出PD與平面PBC所成角的正弦關(guān)于PA的函數(shù),使用基本不等式知識得出線面角的正弦取得最大值時PA的值,計算PC,則PC為外接球的直徑.

解答 解:以A為坐標原點,建立空間坐標系如圖所示:
設(shè)PA=h,則P(0,0,h),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).
BC=(0,1,0),BP=(-1,0,h).DP=(0,-1,h).
設(shè)平面PBC的發(fā)行量為n=(x,y,z).則nBC=0nBP=0
{y=0x+hz=0,令z=1,得n=(h,0,1).
nDP=h,
則直線PD與平面PBC所成角的正弦值為cos<nDP>=nDP|n||DP|=hh2+1h2+1=hh2+1=1h+1h
∴當h=1時,直線PD與平面PBC所成角的正弦值取得最大值12
連結(jié)AC,則AC=2,PC=AC2+PA2=3
∴外接球的半徑r=12PC=32
∴外接球的體積V=43πr3=43π×338=3π2
故答案為:3π2

點評 本題考查了線面角的計算,棱錐與外接球的關(guān)系,關(guān)于空間角的計算通常使用空間向量來解決,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.設(shè)雙曲線x23y2=1的兩焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線上的一點,若PF1與雙曲線的一條漸近線平行,則PF1PF2=( �。�
A.3512B.1112C.712D.112

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}滿足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4是等差中項,則公比q=12,通項公式為an=26-n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.若點Q(2a+b,a-2b)在不等式組{x+y+104x+y50x2y+10表示的平面區(qū)域內(nèi),則z=a2+b2的最大值為135

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.下列說法錯誤的是( �。�
A.一個三棱柱可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成
B.一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成
C.一個圓錐可以由兩個圓錐拼合而成
D.一個四棱臺可以由兩個四棱臺拼合而成

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.一船向正北航行,見正西有兩個相距6海里的燈塔,船航行1小時后,再看燈塔時,一個在船的西南,另一個在船的南偏西30°,求這船的航速.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.在直角坐標系xOy中,已知三點A(a,1),B(2,b),C(3,4),若向量OAOB在向量OC方向上的投影相同,則3a-4b的值是2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.已知數(shù)列{an}滿足:a1=a2=1,an=1-a1+a2+a3++an24(n≥3,n∈N*),則a6=316

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.直線l1的斜率k1=12,直線l2的傾斜角是直線l1的傾斜角的2倍,則直線l2的斜率k2=( �。�
A.1B.12C.43D.-43

查看答案和解析>>

同步練習冊答案