分析 建立空間直角坐標系,使用向量法求出PD與平面PBC所成角的正弦關(guān)于PA的函數(shù),使用基本不等式知識得出線面角的正弦取得最大值時PA的值,計算PC,則PC為外接球的直徑.
解答 解:以A為坐標原點,建立空間坐標系如圖所示:
設(shè)PA=h,則P(0,0,h),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).
∴→BC=(0,1,0),→BP=(-1,0,h).→DP=(0,-1,h).
設(shè)平面PBC的發(fā)行量為→n=(x,y,z).則→n•→BC=0,→n•→BP=0.
∴{y=0−x+hz=0,令z=1,得→n=(h,0,1).
∴→n•→DP=h,
則直線PD與平面PBC所成角的正弦值為cos<→n,→DP>=→n•→DP|→n||→DP|=h√h2+1√h2+1=hh2+1=1h+1h.
∴當h=1時,直線PD與平面PBC所成角的正弦值取得最大值12.
連結(jié)AC,則AC=√2,PC=√AC2+PA2=√3.
∴外接球的半徑r=12PC=√32.
∴外接球的體積V=43πr3=43π×3√38=√3π2.
故答案為:√3π2.
點評 本題考查了線面角的計算,棱錐與外接球的關(guān)系,關(guān)于空間角的計算通常使用空間向量來解決,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | −3512 | B. | −1112 | C. | −712 | D. | −112 |
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A. | 一個三棱柱可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成 | |
B. | 一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成 | |
C. | 一個圓錐可以由兩個圓錐拼合而成 | |
D. | 一個四棱臺可以由兩個四棱臺拼合而成 |
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A. | 1 | B. | 12 | C. | 43 | D. | -43 |
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