【題目】如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).

(1)求證:平面PAC平面PBC

(2)AB2,AC1,PA1,求二面角CPBA的余弦值.

【答案】1)見(jiàn)解析(2

【解析】

(1)AB是圓的直徑,得ACBC,

PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.

PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC,

所以BC平面PAC.

因?yàn)?/span>BC平面PBC

所以平面PBC平面PAC.

(2)過(guò)CCMAP,則CM平面ABC.

如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線CB、CACMx軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

Rt△ABC中,因?yàn)?/span>AB2,AC1,所以BC.

因?yàn)?/span>PA1,所以A(0,1,0)B(,0,0),P(0,1,1).故(,0,0),(0,1,1)

設(shè)平面BCP的法向量為n1(x1,y1,z1),則所以

不妨令y11,則n1(0,1,-1).因?yàn)?/span>(0,0,1)(,-1,0),

設(shè)平面ABP的法向量為n2(x2y2,z2),則所以

不妨令x21,則n2(1,,0).于是cosn1,n2〉=.

由題圖可判斷二面角為銳角,所以二面角CPBA的余弦值為.

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