Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a﹣ ．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．
（2）證明：不論a為何值f（x）在R上都單調(diào)遞增．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（0）= ．

∴

（2）證明：∵f（x）的定義域為R，

∴任取x1x2∈R且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=

=

= ．

∵y=2x在R是單調(diào)遞增且x1＜x2，

∴ ，

∴ ， ， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）

∴不論a為何值時f（x）在R上單調(diào)遞增

【解析】本題（1）利用函數(shù)的奇偶性定義，得到解析滿足的相應關系式，等價化簡后，利用恒成立特征，求出a的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性，證明原函數(shù)的單調(diào)性，得到本題結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．