Question

設(shè)全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xsinα+ycosα-2=0，α∈R}，則在直角平面上集合C_uA內(nèi)所有元素的對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于

4π

．

Answer 1

分析：利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到集合A中直線xsinα+ycosα-2=0的距離d，發(fā)現(xiàn)d為定值，故集合A表示原點(diǎn)到這條直線距離為2的直線系中的直線上的點(diǎn)，全集為平面直角坐標(biāo)系中的所有點(diǎn)，根據(jù)補(bǔ)集的意義可知：集合A的補(bǔ)集表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)部的點(diǎn)，利用圓的面積公式即可求出在直角平面上集合C_uA內(nèi)所有元素的對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積．

解答：解：∵原點(diǎn)（0，0）到直線xsinα+ycosα-2=0的距離d=

2

sin2α+cos2α

=2，
∴集合A表示原點(diǎn)到直線距離為2的直線系中的直線，如下圖所示：

又全集U={（x，y）|x，y∈R}，
∴在直角平面上集合C_uA內(nèi)所有元素的對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為半徑是2的圓，
則此圖形的面積為4π．
故答案為：4π

點(diǎn)評：此題考查了補(bǔ)集及其運(yùn)算，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，其中根據(jù)題意得出在直角平面上集合C_uA內(nèi)所有元素的對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為一個(gè)圓是解本題的關(guān)鍵．