【題目】如圖,四棱錐中,底面
是平行四邊形,
, 平面
底面
,且
是邊長(zhǎng)為
的等邊三角形,
,
是
中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)證明: , 且
與
的面積相等.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(1)由正三角形性質(zhì)得PM⊥AD,再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得PM⊥底面ABCD,即得PM⊥BM,利用勾股定理得BM⊥AD,最后根據(jù)線面垂直判定定理得BM⊥平面PAD,由面面垂直判定定理得結(jié)論(2)利用余弦定理求兩角余弦值,結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性確定兩角大小,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算面積,可證相等
試題解析: 解:(1) △PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, M是AD中點(diǎn)
PM⊥AD, PM
平面PAD
又平面PAD⊥底面ABCD PM⊥底面ABCD
平面PAD∩底面ABCD=AD
又BM
底面ABCD,
PM⊥BM, △PMB是直角三角形
在等邊△PAD中,PM=,又PB=
, MB=
∠BAD=60○, 在△ABM中, 由余弦定理:MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○
得:AB2 - AB -2=0, 即AB=2, △ABD也是等邊三角形,
BM⊥AD
平面PAD∩底面ABCD=AD BM⊥平面PAD
BM底面ABCD BM
平面PMB
平面PMB⊥平面PAD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知底面ABCD是菱形. 連接CM, 在△DMC中,∠MDC=120○,
由余弦定理:MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2×=7
得: MC=, 在直角形△PMC中, :PC2 =PM2+MC2=
在△PDC中,由余弦定理:
在△PAB中,由余弦定理:
,
,余弦函數(shù)在
是減函數(shù)
∠PDC >∠PAB,
而,
,即△PDC與△PAB面積相等.
(注:沒有通過計(jì)算出面積,能夠說明面積相等原因的,仍然是滿分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的焦點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,
的坐標(biāo)為
,且經(jīng)過點(diǎn)
,
軸.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過的直線
與橢圓
交于
兩不同點(diǎn),在橢圓
上是否存在一點(diǎn)
,使四邊形
為平行四邊形?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請(qǐng)10位客人做一個(gè)游戲.第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個(gè)不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數(shù)字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準(zhǔn)備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù),求
的概率分布和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓的圓心坐標(biāo)為
,半徑為2.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為
的正半軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立平面直角坐標(biāo)系,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與圓
的交點(diǎn)為
,
與
軸的交點(diǎn)為
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線,
,則下列說法正確的是( )
A. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
B. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
C. 把曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的
,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
D. 把曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的
,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若關(guān)于的方程
的解集為空集,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
是正三角形,
是等腰三角形,
,
.
(1)求證: ;
(2)若,
,平面
平面
,直線
與平面
所成的角為45°,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓(
)的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,設(shè)點(diǎn)
,在
中,
,周長(zhǎng)為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線
與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn),若直線
與
的斜率之和為
,求證:直線
過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)記第(2)問所求的定點(diǎn)為,點(diǎn)
為橢圓
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試根據(jù)
面積
的不同取值范圍,討論
存在的個(gè)數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右有頂點(diǎn)分別是
、
,上頂點(diǎn)是
,圓
:
的圓心
到直線
的距離是
,且橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線
的焦點(diǎn)重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)平行于軸的動(dòng)直線與橢圓和圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為
、
,直線
、
與
軸的交點(diǎn)記為
,
.試判斷
是否為定值,若是,證明你的結(jié)論.若不是,舉反例說明.
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