Question

已知函數f（x）=lg（x²-2ax+a）．
（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域為R，求實數a的取值范圍，并求f（x）定義域．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）的定義域是使對數的真數有意義x的取值范圍，故函數定義域為R等價于真數對應的二次函數取值恒大于零，由此不難列出根的判別式小于0，從而得到實數a的取值范圍．
（2）函數f（x）的值域為R，說明對數的真數取到所有的正數，由此可得（0，+∞）包含于真數對應二次函數的值，由此可得根的判別大于或等于0，從而得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）要使x²-2ax+a＞0恒成立，只要△=4a²-4a＜0，---------------（2分）
得0＜a＜1．------------------------------------------------------------（4分）
（2）要使函數的值域是R，只要△=4a²-4a≥0，得a≤0或a≥1．------（8分）
這時由x²-2ax+a＞0得　x＜a-

a2-a

或x＞a+

a2-a

，-------（10分）
所以這時f（x）定義域是(-∞， a-

a2-a

 )∪( a+

a2-a

， +∞)．-------（12分）

點評：本題著重考查了對數型函數的定義域和值域、函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．