Question

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點（1，

3

2

）在該橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF₂B的內(nèi)切圓半徑為

3 2

7

，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求出a=2，b=

3

，即可得出方程．
（Ⅱ）由

x=ty-1 x2 4 + y2 3 =1

消去x得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，運用 韋達(dá)定理得出|y₁-y₂|=

12 t2+1

4+3t2

，
S △ABF2=

1

2

×|y₁-y₂|×|F₁F₂|，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，
∴

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵|F₁F₂|=2，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵點（1，

3

2

）在該橢圓上．
∴|PF₁|+|PF₂|=

5

2

+

3

2

=4，a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=ty-1，
由

x=ty-1 x2 4 + y2 3 =1

消去x得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，
∵△＞0恒成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=

6t

4+3t2

，y₁y₂=

-9

4+3t2

，
∴|y₁-y₂|=

12 t2+1

4+3t2

，|F₁F₂|=2
∵圓F₂的半徑為r=

2

t2+1

，△ABF₂的周長為：4a=4×2=8，
∴S △ABF2=

1

2

×8×

3 2

7

=

12 2

7

，
∵S △ABF2=

1

2

×|y₁-y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×

12 t2+1

4+3t2

×2=

12 t2+1

4+3t2

，
∴

12 t2+1

4+3t2

=

12 2

7

，
∴t²=1，
∴r=

2

t2+1

=

2

，
故：F₂為圓心的圓的方程：（x-1）²+y²=2．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的方程，運算量較大，屬于難題．