Question

求與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線且過A(2

3

，-3)點(diǎn)的雙曲線方程及離心率．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得λ=-

1

4

，代入所設(shè)方程再化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可．再由所得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，不難求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵所求雙曲線與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線
∴設(shè)雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)（3分）
又∵點(diǎn)A(2

3

，-3)在雙曲線上，∴λ=

12

16

-

9

9

=-

1

4

．…（8分）
可得所求雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=-

1

4

，
化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得

y2

9 4

-

x2

4

=1，從而a²=

9

4

，c²=

9

4

+4=

25

4

，
因此，離心率滿足e²=

25 4

9 4

=

25

9

，解之得e=

5

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出雙曲線與已知雙曲線共漸近線且過已知點(diǎn)，求雙曲線的方程并求離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．