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9.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin({2x+\frac{π}{6}})+2a+b,且-5≤f(x)≤3.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f({x+\frac{π}{2}})且lgg(x)>0,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 (1)由條件根據(jù)正弦函數(shù)的值域,可得\left\{\begin{array}{l}4a+b=3\\ b=-5\end{array}\right.,由此解得常數(shù)a,b的值.
(2)由題意可得sin({2x+\frac{π}{6}})>\frac{1}{2},再由2kπ+\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},由此求得x的范圍,即為g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解答 解:(1)∵a>0,函數(shù)f(x)=-2asin({2x+\frac{π}{6}})+2a+b,且-5≤f(x)≤3,
可得\left\{\begin{array}{l}4a+b=3\\ b=-5\end{array}\right.,解得\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-5\end{array}\right.
(2)由(1),可得f(x)=-4sin({2x+\frac{π}{6}})-1,g(x)=4sin({2x+\frac{π}{6}})-1,
∴g(x)=-2sin[2(x+\frac{π}{2})+\frac{π}{6}]-1=2sin(2x+\frac{π}{6})-1,
又由lgg(x)>0,得sin({2x+\frac{π}{6}})>\frac{1}{2},再由2kπ+\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}
求得kπ≤x≤kπ+\frac{π}{6},可得函數(shù)g(x)的增區(qū)間為[kπ,kπ+\frac{π}{6}],k∈Z.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的值域,三角不等式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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是否需要志愿者
性別
需要4030
不需要160270
P(K2≥k)0.050.010.001
k3.8416.63510.828
附:K2的觀測(cè)值k=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?

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