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13.已知α,β∈(0,π),并且sin(5π-α)=2cos({\frac{7}{2}π+β),3cos(-α)=-2cos(π+β),求α,β的值.

分析 利用誘導公式化簡已知可得sinα=2sinβ,3cosα=2cosβ,將兩式平方后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解得{cosα=22cosβ=32{cosα=22cosβ=32,結(jié)合角的范圍即可得解α,β的值.

解答 解:∵由sin(5π-α)=2cos({\frac{7}{2}π+β),可得:sinα=2sinβ,兩邊平方可得:sin2α=2sin2β,①
3cos(-α)=-2cos(π+β),可得:3cosα=2cosβ,兩邊平方可得:3cos2α=2cos2β,②
∴①+②可得:sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2,
又∵sin2α+cos2α=1,
∴解得:cos2α=12,即:{cosα=22cosβ=32{cosα=22cosβ=32
∵α,β∈(0,π),
∴解得{α=π4β=π6{α=3π4β=5π6

點評 本題主要考查了誘導公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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