Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n．
（1）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），設(shè)T_n是數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和．求證：Tn＜

3

2

．
（3）若

cn

=

1

2bn

(n∈N*)，且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，比較T_n與

1

6

的大�。�

Answer 1

分析：（1）題目給出了遞推公式S_n+2n=2a_n，模仿該式寫出S_n-1=2（n-1）=2a_n-1，作差后整理可得出數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，然后寫出數(shù)列{a_n+2}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）運(yùn)用b_n=log₂（a_n+2）求出b_n，數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和可用錯位相減法求得，最后把和直截放大即可得結(jié)論；
（3）根據(jù)

cn

=

1

2bn

(n∈N*)，兩邊平方后得到數(shù)列c_n，cn=

1

(2n+2)2

，結(jié)合原題是比較其前n項(xiàng)和與

1

6

的大小，可把式子放大為cn =

1

(2n+2)2-1

，最后采用列項(xiàng)相消求和．

解答：證明：（1）由 S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
當(dāng)n∈N^*時，S_n=2a_n-2n①，
當(dāng)n=1S₁=2a₁-2a₁=2，
則n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②
①-②得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴an+2=4•2n-1
∴an=2n+1-2
（2）證明：由bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

則Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

③

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n+1

2n+2

④
③-④得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

所以Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．
（3）

cn

=

1

1+an

⇒cn=

1

(1+an)2

=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+2)2-1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n＜

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

1

6

所以Tn＜

1

6

．

點(diǎn)評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題，（1）中證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（2）、（3）的求解又集中體現(xiàn)了數(shù)列求和的錯位相減法和列項(xiàng)相消方法、以及不等式證明中的放縮法，該題綜合性強(qiáng)，是難度較大的題目．