Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1）．
（1）證明{

an

n

+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式，構(gòu)造出新數(shù)列，進(jìn)一步求數(shù)列的通項公式．
（2）利用（1）的結(jié)論采用分類法和錯位相減法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1）．
所以：

an+1

n+1

=2

an

n

+1

an+1

n+1

+1=2(

an

n

+1)

an+1 n+1 +1

an n +1

=2（常數(shù)）
{

an

n

+1}是以

a1

1

+1為首項，2為公比的等比數(shù)列．

an

n

+1=2•2n-1=2n
所以：an=n(2n-1)=n•2ⁿ-n
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n=1•2²-1+2•2²-2+…+n•2ⁿ-n
=1•2²+2•2²+…+n•2ⁿ-（1+2++…+n）
所以：解得：Sn=2(1-2n)+n•2n+1-

n(n+1)

2

=(n-1)2n+1-

n(n+1)

2

-2

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，利用分類法求數(shù)列的和，錯位相減法求數(shù)列的和．屬于中等題型．