Question

5．已知$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{3}$，則cos⁴（$\frac{π}{3}$+α）-cos⁴（$\frac{π}{6}$-α）的值為（　�。�

• A． $\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
• B． $\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$
• C． $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出tanα=2，由萬能公式得cos2α=-$\frac{3}{5}$，sin2α=$\frac{4}{5}$，由誘導公式得到cos⁴（$\frac{π}{3}$+α）-cos⁴（$\frac{π}{6}$-α）=cos（$\frac{2π}{3}+2α$），由此利用余弦加法定理能求出結(jié)果．

解答 解：∵$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{tanα-1}{tanα+1}=\frac{1}{3}$，解得tanα=2，
∴cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$，sin2α=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×2}{1+4}=\frac{4}{5}$，
∴cos⁴（$\frac{π}{3}$+α）-cos⁴（$\frac{π}{6}$-α）
=cos⁴（$\frac{π}{3}$+α）-sin⁴（$\frac{π}{3}$+α）
=[cos²（$\frac{π}{3}$+α）-sin²（$\frac{π}{3}$+α）][cos²（$\frac{π}{3}$+α）-sin²（$\frac{π}{3}$+α）]
=cos²（$\frac{π}{3}$+α）-sin²（$\frac{π}{3}$+α）
=cos（$\frac{2π}{3}+2α$）
=cos$\frac{2π}{3}$cos2α-sin$\frac{2π}{3}sin2α$
=-cos$\frac{π}{3}$×（-$\frac{3}{5}$）-sin$\frac{π}{3}$×$\frac{4}{5}$
=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$
=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式、萬能公式、誘導公式、余弦加法定理的合理運用．