已知函數(shù)g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函數(shù),點(diǎn)M(x0,y0)、N(y0,x0)分別是f(x)、g(x)圖象上的點(diǎn),l1、l2分別是函數(shù)f(x)、g(x)的圖象在M,N兩點(diǎn)處的切線,且l1l2
(Ⅰ)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求經(jīng)過原點(diǎn)O及M、N的圓的方程.
(Ⅰ)因為f(x)=x2(x>0),所以g(x)=
x
(x>0)

從而f'(x)=2x,g′(x)=
1
2
x

所以切線l1,l2的斜率分別為k1=f'(x0)=2x0k2=g′(y0)=
1
2
y0

又y0=x02(x0>0),所以k2=
1
2x0

因為兩切線l1,l2平行,所以k1=k2
因為x0>0,
所以x0=
1
2

所以M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(
1
2
1
4
),(
1
4
1
2
)

(Ⅱ)設(shè)過O、M、N三點(diǎn)的圓的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因為圓過原點(diǎn),所以F=0.因為M、N關(guān)于直線y=x對稱,所以圓心在直線y=x上.
所以D=E.
又因為M(
1
2
,
1
4
)
在圓上,
所以D=E=-
5
12

所以過O、M、N三點(diǎn)的圓的方程為:x2+y2-
5
12
x-
5
12
y=0
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函數(shù),點(diǎn)M(x0,y0)、N(y0,x0)分別是f(x)、g(x)圖象上的點(diǎn),l1、l2分別是函數(shù)f(x)、g(x)的圖象在M,N兩點(diǎn)處的切線,且l1∥l2
(Ⅰ)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求經(jīng)過原點(diǎn)O及M、N的圓的方程.

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(2012•邯鄲一模)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時g(x)=-ln(1-x),函數(shù)f(x)=
x3
 (x≤0)
g
 (x>0),
若f(2-x2)>f(x),則實數(shù)x的取值范圍是( 。

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已知函數(shù)g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函數(shù),點(diǎn)M(x0,y0)、N(y0,x0)分別是f(x)、g(x)圖象上的點(diǎn),l1、l2分別是函數(shù)f(x)、g(x)的圖象在M,N兩點(diǎn)處的切線,且l1∥l2
(Ⅰ)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
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已知函數(shù)g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函數(shù),點(diǎn)M(x,y)、N(y,x)分別是f(x)、g(x)圖象上的點(diǎn),l1、l2分別是函數(shù)f(x)、g(x)的圖象在M,N兩點(diǎn)處的切線,且l1∥l2
(Ⅰ)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求經(jīng)過原點(diǎn)O及M、N的圓的方程.

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