設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F1作直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得
MA
•
MB
為常數(shù)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（Ⅰ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，A(-
3
，
1
2
)，B(-
3
，-
1
2
)，此時(shí)OA與OB不垂直．（2分）
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x+
3
)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立直線與橢圓的方程
y=k(x+
3
)
x2+4y2=4
，整理得(4k2+1)x2+8
3
k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=
-8
3
k2
4k2+1
，x1x2=
12k2-4
4k2+1

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0x1x2+k2(x1+
3
)(x2+
3
)=x1x2+k2x1x2+
3
k2(x1+x2)+3k2=0
3
k2•
-8
3
k2
4k2+1
+(1+k2)•
12k2-4
4k2+1
+3k2=0
解得k2=
4
11
（6分）
∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
20
9
（8分）
（Ⅱ）設(shè)M（m，0）為x軸上一點(diǎn)
MA
•
MB
=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=
12k2-4
4k2+1
-m•
-8
3
k2
4k2+1
+m2-
k2
4k2+1
=
(4m2+8
3
m+11)k2+m2-4
4k2+1
（12分）
若
MA
•
MB
為定值，則有
4m2+8
3
m+11
m2-4
=
4
1
，解得m=-
9
3
8

所以存在點(diǎn)M(-
9
3
8
， 0)使得
MA
•
MB
為定值．（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=
a2
c
上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上的一點(diǎn)A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點(diǎn)，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問(wèn)：“點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點(diǎn)在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（5，0），求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程．

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