Question

13．已知a，b，c∈R⁺，則“a+b＞c”是“$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$”成立的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{x}{1+x}$，則f（x）=1-$\frac{1}{1+x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則f（a+b）＞f（c），即$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$，
若a+b＞c，則$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$＞$\frac{a}{1+a+b}$+$\frac{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$，即充分性成立，
若a=1，b=1，c=2，則$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，$\frac{c}{1+c}$=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，滿足$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$，但a+b＞c不成立，
即“a+b＞c”是“$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$”成立的充分不必要條件，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用放縮法證明不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．