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1.已知函數(shù)fx=1+ax2x+b的圖象經(jīng)過點(1,3),并且g(x)=xf(x)是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)a、b的值;
(2)用定義證明:函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).

分析 (1)根據(jù)g(-x)=g(x)恒成立得出b的值,將(1,3)代入f(x)解出a;
(2)設(shè)x2>x1>1,化簡g(x2)-g(x1)并判斷符號得出g(x2)與g(x1)的大小關(guān)系.

解答 解:(1)∵函數(shù)gx=xfx=x+ax3x+b是偶函數(shù),則g(-x)=g(x).
xax3x+b=x+ax3x+b恒成立,即x-b=x+b恒成立,
∴b=0.
又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3),
∴f(1)=3,即1+a=3,
∴a=2.
(2)由(1)知:g(x)=xf(x)=2x2+1.
設(shè)x2>x1>1,
gx2gx1=2x22+12x211=2(x2-x1)(x2+x1).
∵x2>x1>1,∴(x2-x1)(x2+x1)>0
∴g(x2)>g(x1),
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明,使用定義判斷非常重要的解題方法.屬于基礎(chǔ)題.

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