Question

設(shè)點P為圓C₁：x²+y²=2上的動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q．動點M滿足

2

MQ

=

PQ

（其中P，Q不重合）．
（Ⅰ）求點M的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）過直線x=-2上的動點T作圓C₁的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B．若直線AB與（Ⅰ）中的曲線C₂交于C，D兩點，求

|AB|

|CD|

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），由

2

MQ

=

PQ

，得P(x，

2

y)，由此能求出M的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)點T（-2，t），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由已知條件推導(dǎo)出AT，BT的方程為：x₃x+y₃y=2，x₄x+y₄y=2，由此能求出

|AB|

|CD|

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），
由

2

MQ

=

PQ

，得P(x，

2

y)，
∵點P在C1：x2+y2=2上，
∴x²+2y²=2即M的軌跡方程是

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）設(shè)點T（-2，t），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則AT，BT的方程為：x₃x+y₃y=2，x₄x+y₄y=2，
又點T（-2，t）在AT，BT上，
則有：

-2x_+ty3=2 -2x_+ty4=2

，
得AB得方程為：-2x+ty=2，
設(shè)點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則圓心O到AB得距離為d=

2

4+t2

，
|AB|=2

r2-d2

=2

2t2+4 t2+4

，
又由

-2x+ty=2 x2 2 +y2=1

，
得（t²+8）y²-4ty-4=0，
∴

y1+y2= 4t t2+8 y1y2= -4 t2+8

，
∴|CD|=

2 t2+4 2t2+8

t2+8

，
∴

|AB|

|CD|

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

，
令t²+4=s，則s≥4，
∴

|AB|

|CD|

=

1+ 6 s - 32 s3

，
∴

|AB|

|CD|

的范圍為(1，

2

]．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查兩條線段的比值的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．