Question

4．如圖，在七面體ABCDEFGH中，底面ABCDEF是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，AG=DH=3，且
AG，DH都與底面ABCDEF垂直．
（Ⅰ）求證：平面ABG∥平面DEH；
（Ⅱ）平面BCHG與平面DEH所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直的性質(zhì)可知AG∥平面DEH，由ABCDEF是正六邊形，AB∥DE，根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可證明平面ABG∥平面DEH；
（Ⅱ）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得B，C，G點(diǎn)坐標(biāo)，求得向量$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{BG}$，分別求得平面BCHG與平面DEH的法向量，由cos＜$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{j}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{j}丨丨\overrightarrow{n}丨}$，根據(jù)同角三角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求得平面BCHG與平面DEH所成二面角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）AG⊥平面ABCDEF垂直，DH⊥ABCDEF垂直．
∴AG∥DH，DH?平面DEH，AG?平面DEH，
∴AG∥平面DEH，
∵ABCDEF是正六邊形，
所以AB∥DE，DE?平面DEH，AB?平面DEH，
∴AB相交于A點(diǎn)，
∴平面ABG∥平面DEH；
解：（Ⅱ）連接AE，AE⊥AB，
AG⊥平面ABCDEF，
AB，AE，AG所在直線分別為x，y，z軸，建立坐標(biāo)系，

則：B（2，0，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），G（0，0，3），
$\overrightarrow{BC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BG}$=（-2，0，3），
設(shè)平面BCHG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{-2x+3z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，2），
∵平面DEH與y軸垂直，故其法向量可取為$\overrightarrow{j}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{j}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{j}丨丨\overrightarrow{n}丨}$=$\frac{-\sqrt{3}}{1×4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴平面BCHG與平面DEH所成二面角的正弦值$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直，考查面面角，考查法向量的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．