Question

17．若a，b是函數(shù)f（x）=x²-px+q（p＞0，q＞0）的兩個不同的零點，且a，b，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于9；點A坐標(biāo)（p，q），曲線C方程：y=$\sqrt{1-{x^2}}$，直線l過A點，且和曲線C只有一個交點，則直線l的斜率取值范圍為{$\frac{10-\sqrt{10}}{12}$}∪（$\frac{2}{3}$，1]．

Answer 1

分析 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b后得答案．求出直線與圓相切時，直線的斜率，過（-1，0）、（1，0）直線的斜率，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2b=a-2}\\{ab=4}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{2a=b-2}\\{ab=4}\end{array}\right.$②．
解①得：a=4，b=1；解②得：a=1，b=4．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
則p+q=9．
點A坐標(biāo)（5，4），直線的方程設(shè)為y-4=k（x-5），即kx-y-5k+4=0
曲線C方程：y=$\sqrt{1-{x^2}}$表示一個在x軸上方的圓的一半，圓心坐標(biāo)為（0，0），圓的半徑r=1．
由圓心到直線的距離d=$\frac{|-5k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，可得k=$\frac{10±\sqrt{10}}{12}$，
過（-1，0）、（5，4）直線的斜率為$\frac{4-0}{5+1}$=$\frac{2}{3}$，過（1，0）、（5，4）直線的斜率為1，
∴直線l的斜率取值范圍為{$\frac{10-\sqrt{10}}{12}$}∪（$\frac{2}{3}$，1]．
故答案為：9，{$\frac{10-\sqrt{10}}{12}$}∪（$\frac{2}{3}$，1]．

點評 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，是中檔題．