Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值與最小值；
（2）求y-x最大值與最小值；
（3）求x²+y²+2x+2y最大值與最小值；
（4）若對任意的x，y有x+2y+m≥0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，k取得最值，利用切線的性質(zhì)求出k；
（2）令z=y-x，則當(dāng)直線y=x+z與圓相切時(shí)，截距取得最值，即z取得最值，利用切線的性質(zhì)解出z的最值；
（3）x²+y²+2x+2y=6x+2y-1，令z=6x+2y-1，參考（2）的解法求出z的最值；
（4）m≥-x-2y，令z=-x-2y，參考（2）的解法求出z的最大值即可．

解答 解：設(shè)圓C：x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3．
（1）設(shè)$\frac{y}{x}=k$，則當(dāng)直線y=kx與圓C相切時(shí)，直線斜率最大或最小，即k最大或最小．
設(shè)直線y=kx與圓C切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，則AC=$\sqrt{3}$，OC=2，∴OA=1，
∴k=tan∠AOC=$\frac{AC}{OA}=\sqrt{3}$，
由圖象的對稱性可知當(dāng)y=kx與圓C相切于第四象限內(nèi)時(shí)，k=-$\sqrt{3}$．
∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\sqrt{3}$．
（2）令z=y-x，則y=x+z，
∴當(dāng)直線y=x+z與圓C相切時(shí)，z取得最大值或最小值．此時(shí)圓心到直線x-y+z=0的距離d=r=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|2+z|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，解得z=-2±$\sqrt{6}$．
∴y-x的最大值為-2+$\sqrt{6}$，最小值為-2-$\sqrt{6}$．
（3）∵x²+y²-4x+1=0，
∴x²+y²+2x+2y=4x-1+2x+2y=6x+2y-1，
令z=6x+2y-1，則y=-3x+$\frac{1+z}{2}$，
∴當(dāng)直線y=-3x+$\frac{1+z}{2}$與圓C相切時(shí)，z取得最大值或最小值，此時(shí)圓心到直線6x+2y-1-z=0的距離d=r=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|11-z|}{2\sqrt{10}}=\sqrt{3}$，解得z=11±2$\sqrt{30}$，
∴x²+y²+2x+2y最大值是11+2$\sqrt{30}$，最小值是11-2$\sqrt{30}$．
（4）∵x+2y+m≥0，∴m≥-x-2y恒成立．
令z=-x-2y，則y=-$\frac{1}{2}x$-$\frac{z}{2}$．
∴當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x$-$\frac{z}{2}$與圓C相切時(shí)，z取得最大值或最小值，此時(shí)圓心到直線x+2y+z=0的距離d=r=$\sqrt{3}$，
．∴$\frac{|2+z|}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，解得z=-2±$\sqrt{15}$，
∴-x-2y的最大值為-2+$\sqrt{15}$，
∴m≥-2+$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，簡單的線性規(guī)劃，屬于中檔題．