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18.定義max{m,n}={mmnnnm,則max{2+1a,a2+1}(a>0,b>0)的最小值為2.

分析 設(shè)t=max{2+1aa2+1}(a>0,b>0),即為t≥2+1a,t≥\frac{{a}^{2}+1},相加,再由基本不等式即可得到所求最值.

解答 解:設(shè)t=max{2+1aa2+1}(a>0,b>0),
即為t≥2+1a,t≥a2+1,
可得2t≥2+1a+a2+1=(2a+a2)+(1a+\frac{1}),
由a+2a≥2a2a=2b,
b+\frac{{a}^{2}}≥2a,
相加可得2a+a2≥a+b,
即有2t≥a+b+(1a+\frac{1})=(a+1a)+(b+1)≥2a1a+2\sqrt{b•\frac{1}}=4,
即有t≥2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1取得最小值2.
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法,注意運(yùn)用換元法和基本不等式,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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