18.定義max{m,n}=$\left\{\begin{array}{l}{m,m≥n}\\{n,n>m}\end{array}\right.$,則max{$\frac{^{2}+1}{a}$,$\frac{{a}^{2}+1}$}(a>0,b>0)的最小值為2.

分析 設(shè)t=max{$\frac{^{2}+1}{a}$,$\frac{{a}^{2}+1}$}(a>0,b>0),即為t≥$\frac{^{2}+1}{a}$,t≥$\frac{{a}^{2}+1}$,相加,再由基本不等式即可得到所求最值.

解答 解:設(shè)t=max{$\frac{^{2}+1}{a}$,$\frac{{a}^{2}+1}$}(a>0,b>0),
即為t≥$\frac{^{2}+1}{a}$,t≥$\frac{{a}^{2}+1}$,
可得2t≥$\frac{^{2}+1}{a}$+$\frac{{a}^{2}+1}$=($\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$)+($\frac{1}{a}$+$\frac{1}$),
由a+$\frac{^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{^{2}}{a}}$=2b,
b+$\frac{{a}^{2}}$≥2a,
相加可得$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$≥a+b,
即有2t≥a+b+($\frac{1}{a}$+$\frac{1}$)=(a+$\frac{1}{a}$)+(b+$\frac{1}$)≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{1}}$=4,
即有t≥2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1取得最小值2.
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法,注意運(yùn)用換元法和基本不等式,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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