Question

18．定義max{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}{m，m≥n}\\{n，n＞m}\end{array}\right.$，則max{$\frac{^{2}+1}{a}$，$\frac{{a}^{2}+1}$}（a＞0，b＞0）的最小值為2．

Answer 1

分析 設(shè)t=max{$\frac{^{2}+1}{a}$，$\frac{{a}^{2}+1}$}（a＞0，b＞0），即為t≥$\frac{^{2}+1}{a}$，t≥$\frac{{a}^{2}+1}$，相加，再由基本不等式即可得到所求最值．

解答 解：設(shè)t=max{$\frac{^{2}+1}{a}$，$\frac{{a}^{2}+1}$}（a＞0，b＞0），
即為t≥$\frac{^{2}+1}{a}$，t≥$\frac{{a}^{2}+1}$，
可得2t≥$\frac{^{2}+1}{a}$+$\frac{{a}^{2}+1}$=（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$）+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），
由a+$\frac{^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{^{2}}{a}}$=2b，
b+$\frac{{a}^{2}}$≥2a，
相加可得$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$≥a+b，
即有2t≥a+b+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}$）≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{1}}$=4，
即有t≥2．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1取得最小值2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用換元法和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．