Question

已知函數f（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R）．
（1）當a=-1，b=2，c=0時，求曲線y=f（x）在點（2，0）處的切線方程；
（2）當a=1，b=0，c=-e時，求函數f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把當a=-1，b=2，c=0代入函數解析式，求得函數的導函數，得到函數在x=2時的導數，然后由直線方程的點斜式得答案；
（2）把a=1，b=0，c=-e代入函數解析式，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，求得極值點，得到函數的極值．

解答： 解：（1）當a=-1，b=2，c=0時，f（x）=-x²+2，
則f′（x）=-2x+2，f′（2）=-2，
∴所求的切線方程為y=-2（x-2），即2x+y-4=0；
（2）當a=1，b=0，c=-e時，f（x）=x²-elnx，f′(x)=2x-

e

x

=

2x2-e

x

，
令f′（x）=0，得x=

e 2

，
列表：

x	(0， e 2 )	e 2	( e 2 ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↑

∴f（x）有極小值f(

e 2

)=

e

2

-

e

2

ln

e

2

=

e

2

ln2．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．