Question

若關(guān)于x的方程|a^x-1|-2x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  1

  e

  )∪(1，e)
• B．(0，

  1

  2e

  )∪(1，2e)
• C．(0，

  1

  e2

  )∪(1，e2)
• D．（1，e²）

Answer 1

分析：由方程|a^x-1|-2x=0得|a^x-1|=2x，分別在坐標(biāo)系作出函數(shù)y=|a^x-1|和y=2x的圖象，利用兩個(gè)圖象有兩個(gè)不相等的交點(diǎn)，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由方程|a^x-1|-2x=0得|a^x-1|=2x，
設(shè)y=|a^x-1|和y=2x，
分別在坐標(biāo)系作出函數(shù)y=|a^x-1|和y=2x的圖象．
①若a＞1，則對(duì)應(yīng)圖象為上圖
此時(shí)當(dāng)x≥0時(shí)，y=|a^x-1|=a^x-1，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=a^xlna≥lna，此時(shí)函數(shù)切線(xiàn)效率的最小值為lna，
∴要使兩個(gè)圖象有兩個(gè)不相等的交點(diǎn)，則2＞lna，即1＜a＜e²．
②若0＜a＜1，則對(duì)應(yīng)圖象為下圖
此時(shí)當(dāng)x≥0時(shí)，y=|a^x-1|=1-a^x，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=-a^xlna≤-lna，此時(shí)函數(shù)切線(xiàn)效率的最大值為-lna，
∴要使兩個(gè)圖象有兩個(gè)不相等的交點(diǎn)，則切線(xiàn)效率-lna＞2，即lna＜-2，解得0＜a＜

1

e2

．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a＜e²或0＜a＜

1

e2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大．