Question

已知點A（-1，0）、B（1，0），動點P滿足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓W：x2+y2=

2

3

的切線l與軌跡C相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）當點P在線段AB上時，動點P的軌跡不存在；當點P在x軸上且在線段AB外時，P（±

2

，0）；當點P不在x軸上時，由余弦定理得動點P在以A、B為兩焦點的橢圓上，由此能求出動點P的軌跡C的方程．
（2）當直線l的斜率不存在或為0時，以PQ為直徑的圓的方程經過坐標原點O；當直線l的斜率存在且不為零時．設直線l的方程為y=kx+m．由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．由此能求出以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．故以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．

解答： （1）解：①當點P在線段AB上時，
θ不存在或θ=

π

2

，均不滿足題目條件；（1分）
②當點P在x軸上且在線段AB外時，
θ=0，設P（p，0），
由|PA|•|PB|cos²θ=1，得（p+1）（p-1）=1，
∴p=±

2

，∴P（±

2

，0）；（3分）
③當點P不在x軸上時，
在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4，∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，
即動點P在以A、B為兩焦點的橢圓上．
方程為：

x2

2

+y2=1．（x≠±

2

）
綜合①②③可知：動點P的軌跡C的方程為：

x2

2

+y2=1．（6分）
（2）證明：①當直線l的斜率不存在時．
∵直線l與圓W相切，故切線方程為x=

6

3

或x=-

6

3

，
切線方程與

x2

2

+y2=1聯(lián)立方程組，
求得P，Q為（

6

3

，±

6

3

）或P，Q為（-

6

3

，±

6

3

），
則以PQ為直徑的圓的方程為(x±

6

3

)2+y2=

2

3

，經過坐標原點O．
②當直線l的斜率為零時．
與①類似，求得以PQ為直徑的圓的方程為x2+(y±

6

3

)2=

2

3

，經過坐標原點O．（10分）
③當直線l的斜率存在且不為零時．設直線l的方程為y=kx+m．
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-4km

2k2+1

，x₁•x₂=

2m2-2

2k2+1

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

2k2+1

．
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=

3m2-2k2-2

2k2+1

．①
∵直線l和圓W相切，
∴圓心到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

6

3

，整理得m²=

2

3

（1+k²）．②
將②式代入①式，得

OP

•

OQ

=0，顯然以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
綜上可知，以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查圓經過坐標原點的證明，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．