Question

18．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞c）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸正半軸交于點C．是否存在實數k，使得y軸恰好平分∠ACB？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長為2，求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（2）依題意直線BC的斜率為k_BC=1，直線AC的斜率為k_AC=-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，由此利用韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出存在滿足條件的k值．

解答 解：（1）設焦點F（c，0），則$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，從而a²=2c²，
由題意有${（{\frac{c}{a}}）^2}+\frac{1}{b^2}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{b^2}=1$，
解得b²=2，又a²=b²+c²，于是2c²=2+c²，
解得c²=2，a²=4，
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（2）依題意可知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，
于是直線BC的斜率為k_BC=1，直線AC的斜率為k_AC=-1，…（6分）
則${k_{AC}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=-1，{k_{BC}}=\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}=1$，
∴x₁=y₀-y₁=-k（x₁-1）+y₀，
x₂=y₂-y₀=k（x₂+1）-y₀，
相加得x₁+x₂=k（x₂-x₁）．…（8分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$消去y，整理得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{2}{{1+2{k^2}}}$．…（10分）
把x₁+x₂=k（x₂-x₁）兩邊同時平方，得${（{{x_1}+{x_2}}）^2}={k^2}[{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]$，
代入可得${（{-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}}）^2}={k^2}[{{{（{-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}}）}^2}-4×（{-\frac{2}{{1+2{k^2}}}}）}]$，
化簡可得4k²+1=2，或k²=0，解得$k=±\frac{1}{2}$，或k=0，
即可存在滿足條件的k值，$k=±\frac{1}{2}$，或k=0．…（13分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線的斜率是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．