Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
（1）求a₁，a₂．
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列；若存在，求出λ的值．
（3）令c_n=

an+1

n+1

，若c_n＞m對(duì)任意的n∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知代入a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，即可求出a₁，a₂．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，求出λ的值為1，再證明數(shù)列{

an+1

2n

}為等差數(shù)列即可．
（3）由（2）得到c_n=

an+1

n+1

=

n+2

n+1

•2n，若c_n＞m對(duì)任意的n∈N^*都成立，只需m小于數(shù)列{c_n}的最小項(xiàng)，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由于數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
則a₃=2a₂+2³+1，a₂=2a₁+2²+1，故a₂=15，a₁=5；
（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，
則

a1+λ

21

，

a2+λ

22

，

a3+λ

23

也為等差數(shù)列，
故2×

a2+λ

22

=

a1+λ

21

+

a3+λ

23

解得λ=1，
由于

an+1+1

2n+1

-

an+1

2n

=

2an+2n+1+2

2n+1

-

an+1

2n

=1
所以數(shù)列{

an+1

2n

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為

a1+1

21

=3，
故當(dāng)λ=1時(shí)，數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列；
（3）由（2）知，

an+1

2n

=3+(n-1)•1=n+2
若令c_n=

an+1

n+1

，則c_n=

n+2

n+1

•2n
由于c_n≥c_n+1等價(jià)于

n+2

n+1

•2n≥

n+1+2

n+1+1

•2n+1=

n+3

n+2

•2n+1
即n²+4n+2=（n+2）²-2≤0無(wú)解，故恒有c_n≥c_n-1
若c_n＞m對(duì)任意的n∈N^*都成立，則必有

a1+1

1+1

=3=c₁＞m
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及等比數(shù)列求和公式，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，該題有一定的難度．