Question

設集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M為“和諧垂直偶點集”，給出下列四個集合：
（1）M={（x，y）|y=x^-2，x＜0}；
（2）M=（x，y）|y=ln（x-1）}；
（3）M={（x，y）|y=sinx+1}；
（4）M={（x，y）|y=e^x-3}．
其中是“和諧垂直偶點集”的序號是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（4）
• D、（3）（4）

Answer 1

分析：利用x負半軸，y的正半軸為漸近線的曲線，判斷其正誤即可．對于②、③、④通過函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，畫出函數(shù)的圖象，利用“垂直對點集”的定義，即可判斷正誤；

解答：解：對于①，M={（x，y）|y=x^-2，x＜0}；以x負半軸，y的正半軸為漸近線的曲線，x負半軸，y的正半軸的夾角為90°，在同一支上，
任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足“和諧垂直偶點集”的定義，不是“和諧垂直偶點集”．
對于②，M={（x，y）|y=ln（x-1）}，取點（2，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是“和諧垂直偶點集”．
對于③，M={（x，y）|y=sinx+1}，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“和諧垂直偶點集”的定義，所以M是“和諧垂直偶點集”；正確．
對于④，M={（x，y）|y=e^x-3}，如下圖紅線的直角始終存在，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-2），則N（ln3，0），滿足“和諧垂直偶點集”的定義，所以是“和諧垂直偶點集”；正確．
故選：C．

點評：本題考查“和諧垂直偶點集”的定義，利用對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關鍵，函數(shù)的基本性質(zhì)的考查，注意存在與任意的區(qū)別．