Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，0≤x＜1}\\{{2}^{x-1}-1，1≤x＜3}\end{array}\right.$，若存在m，n，當0≤m＜n＜3時，有f（m）=f（n），則nf（m）的取值范圍是（　�。�

• A． [1，3）
• B． [1，2log₂3+2）
• C． [2，3）
• D． [2，2log₂3+2）

Answer 1

分析 確定函數(shù)f（x）在[0，1）和[1，3）上都是單調(diào)增函數(shù)，旅游若存在m，n，當0≤m＜n＜3時，有f（m）=f（n），必有m∈[0，1），n∈[2，log₂3+1），nf（n）=n（2^n-1-1）．構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（2^x-1-1）（x∈[2，log₂3+1）），利用單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：因為函數(shù)f（x）在[0，1）和[1，3）上都是單調(diào)增函數(shù)，
所以，若存在m，n，當0≤m＜n＜3時，有f（m）=f（n），必有m∈[0，1），n∈[2，log₂3+1），
所以nf（n）=n（2^n-1-1）．
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（2^x-1-1）（x∈[2，log₂3+1）），
g′（x）=2^x-1+x×2^x-1×ln2-1＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴g（x）∈[2，2log₂3+2），
故選：D．

點評 本題考查分段函數(shù)，考查不等式的性質(zhì)，考查學生的計算能力，確定m，n的范圍是關(guān)鍵．