Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

c-an+1

（c為常數(shù)，n∈N^*）且a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列
（2）求c的值
（3）設(shè)b_n=a_n•a_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）要證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，即要證明

1

an+1

-

1

an

是一個(gè)常數(shù)，對(duì)條件a_n+1=

an

c-an+1

取倒數(shù)即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而求得a₂，a₅，根據(jù)a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列，可得(

1

c+1

)2=

1

4c+1

×1，解此方程即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)（2）求得c的值，并代入b_n=a_n•a_n+1，求出數(shù)列數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法即可求得S_n，從而證明結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵a_n+1=

an

c•an+1

∴

1

an+1

=

c•an+1

an

=

1

an

+c
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）由（1）知數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，c為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴a_n=

1

cn+1-c

∴a₂=

1

c+1

，a₅=

1

4c+1

，
因?yàn)閍₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
所以(

1

c+1

)2=

1

4c+1

×1，
解得c=0或c=2．
當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₅，不符合題意舍去，
故c=2；
（3）證明：由（2）知a_n=

1

2n-1

，b_n=a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+ 

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

故S_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定方法和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列，求出c的值，是解題的關(guān)鍵，注意仔細(xì)審題，考查利用應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．