Question

已知偶函數f（x）的定義域為(-

π

2

，

π

2

)，其導數為f′（x），對任意的x∈[0，

π

2

)，都有f′（x）＞tanx•f（x）成立，則（　�。�

• A、

  2

  f(

  π

  4

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )＜f(-

  π

  3

  )
• B、

  3

  f(-

  π

  6

  )＜

  2

  f(

  π

  4

  )＜f(-

  π

  3

  )
• C、

  2

  f(

  π

  4

  )＜f(-

  π

  3

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )
• D、f(-

  π

  3

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )＜

  2

  f(

  π

  4

  )

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：先構造函數設F（x）=cosxf（x），再求導，判斷出函數F（x）的單調性質，根據單調性，問題得以解決．

解答： 解：設F（x）=cosxf（x），
∴F′（x）=-sinxf（x）+cosxf′（x）=cosx[f′（x）-tanxf（x）]，
∵對任意的x∈[0，

π

2

)，都有f′（x）＞tanx•f（x）成立，
∴F′（x）＞0，
∴函數F（x）在[0，

π

2

）上為增函數，
∴F（

π

6

）＜F（

π

4

）＜F（

π

3

），
又f（x）為偶函數，
∴F（-

π

6

）＜F（

π

4

）＜F（-

π

3

），
即

3

f（-

π

6

）＜

2

f（

π

4

）＜f（-

π

3

），
故選：B

點評：本題主要考查了導數的運算和法則以及函數的單調性的問題，關鍵是構造函數，屬于基礎題．