已知直線l分別與x軸、y軸交于A（a，0），B（0，b）點，且和圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切，（其中a＞2，b＞2）．
（1）求a，b應滿足什么條件；      
（2）求線段AB長度的最小值．
分析：（1）由題意，直線AB的方程為
x
a
+
y
b
=1，圓C：x2+y2-2x-2y+1=0化為標準方程為：（x-1）2+（y-1）2=1，根據(jù)直線和圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得出結論；
（2）由（1），結合兩點間的距離公式，利用基本不等式，求線段AB長度的最小值．
解答：解：（1）由題意，直線AB的方程為
x
a
+
y
b
=1，
圓C：x2+y2-2x-2y+1=0化為標準方程為：（x-1）2+（y-1）2=1．
∵直線和圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切，
∴
|
1
a
+
1
b
-1|
1
a2
+
1
b2
=1，
化簡可得ab-2a-2b+2=0；
（2）ab-2a-2b+2=0可化為（a-2）（b-2）=2，
設a-2=m，b-2=n，則a=2+m，b=2+n，m＞0，n＞0，mn=2．
|AB|=
a2+b2
=
(2+m)2+(2+n)2
=
8+m2+n2+4(m+n)
≥
8+2mm+8
mn
=
12+8
2
=2+2
2
，
當且僅當m=n時，取等號，此時線段AB長度的最小值為2+2
2
．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用基本不等式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點（a＞2，b＞2），O為原點．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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