Question

【題目】已知橢圓C：，其中（e為橢圓離心率），焦距為2，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間．又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）y=（x﹣4）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出直線的斜率，即可得到所直線方程．

試題解析：（Ⅰ）由條件橢圓C：，其中（e為橢圓離心率），焦距為2，可得c=1，a=2，

故b2=a2﹣c2=3，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

（Ⅱ）由過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間．，可知A，B，M三點(diǎn)共線，

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2）．

若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意．

當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4）．

由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①

由①的判別式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，

解得k2＜，

x1+x2=，

由又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為．可得

解得k2=，即有k=±．

y=（x﹣4）．

直線l的方程：y=（x﹣4）．