Question

1．直線y=a分別與曲線y=x²-lnx，y=x-2交于點(diǎn)P、Q，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，a），Q（x₂，a），則${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}={x}_{2}-2$，用x₁表示出x₂，求出|PQ|，利用導(dǎo)數(shù)求出|PQ|的最小值．

解答 解：設(shè)P（x₁，a），Q（x₂，a），則${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}={x}_{2}-2$，
∴x₂=${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}+2$，
∴|PQ|=x₂-x₁=${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}-{x}_{1}+2$，
令y=x²-lnx-x+2，則y′=2x$-\frac{1}{x}-1$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$（x＞0），
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為2，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，是中檔題．