Question

有兩個命題：p：不等式2x-x²＜m＜（

1

3

）^x+4對一切實數(shù)x恒成立；q：f（x）=-（7-2m）x是R上的減函數(shù)，如果p且q為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將兩個命題的條件轉(zhuǎn)化為不等式，由p且q為真命題，取兩個范圍的交集，即可確定m的取值范圍．

解答： 解：∵2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
（

1

3

）^x+4＞4，
∴不等式2x-x²＜m＜（

1

3

）^x+4對一切實數(shù)x恒成立，
等價于1＜m≤4，
又∵f（x）=-（7-2m）x是R上的減函數(shù)等價于
-（7-2m）＜0，即m＜

7

2

，
∴p且q為真命題等價于，

1＜m≤4 m＜ 7 2

，
∴1＜m＜

7

2

，
即實數(shù)m的取值范圍是（1，

7

2

），
故答案為（1，

7

2

）．

點評：本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．