Question

若正數(shù)x，y滿足x+y=1，且

1

x

+

a

y

≥4對(duì)任意x，y∈（0，1）恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，4]
• B、[4，+∞）
• C、（0，1]
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：正數(shù)x，y滿足x+y=1，且

1

x

+

a

y

≥4對(duì)任意x，y∈（0，1）恒成立?(

1

x

+

a

y

)min≥4對(duì)任意x，y∈（0，1），
利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵正數(shù)x，y滿足x+y=1，當(dāng)a＞0時(shí)．
∴

1

x

+

a

y

=（x+y）(

1

x

+

a

y

)=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，當(dāng)且僅當(dāng)y=

a

x時(shí)取等號(hào)．
∵

1

x

+

a

y

≥4對(duì)任意x，y∈（0，1）恒成立，
∴1+a+2

a

≥4，解得a≥1．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．