【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求證:PC⊥BC;
(2)求點A到平面PBC的距離.
【答案】
(1)證明:因為PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得CD⊥BC,
又PD∩DC=D,PD、DC平面PCD,
所以BC⊥平面PCD.
因為PC平面PCD,故PC⊥BC.
(2)解:(方法一)分別取AB、PC的中點E、F,連DE、DF,則:
易證DE∥CB,DE∥平面PBC,點D、E到平面PBC的距離相等.
又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍.
由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,
因為PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F.
易知DF= ,故點A到平面PBC的距離等于 .
(方法二)等體積法:連接AC.設點A到平面PBC的距離為h.
因為AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.
從而AB=2,BC=1,得△ABC的面積S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱錐P﹣ABC的體積 .
因為PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC.
又PD=DC=1,所以 .
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面積 .
由VA﹣PBC=VP﹣ABC, ,得 ,
故點A到平面PBC的距離等于 .
【解析】(1),要證明PC⊥BC,可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面,由PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易證明BC⊥平面PCD,從而得證;(2),有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離: 方法一,注意到第一問證明的結論,取AB的中點E,容易證明DE∥平面PBC,點D、E到平面PBC的距離相等,而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍,由第一問證明的結論知平面PBC⊥平面PCD,交線是PC,所以只求D到PC的距離即可,在等腰直角三角形PDC中易求;
方法二,等體積法:連接AC,則三棱錐P﹣ACB與三棱錐A﹣PBC體積相等,而三棱錐P﹣ACB體積易求,三棱錐A﹣PBC的地面PBC的面積易求,其高即為點A到平面PBC的距離,設為h,則利用體積相等即求.
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【題目】已知函數f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1﹣x),其中(a>0且a≠1),設h(x)=f(x)﹣g(x).
(1)求h(x)的定義域;
(2)判斷h(x)的奇偶性,并說明理由;
(3)若a=log327+log2,求使f(x)>1成立的x的集合.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設過原點 O 的直線與圓 C : 的一個交點為 P ,點 M 為線段 OP 的中點。
(1)求圓 C 的極坐標方程;
(2)求點 M 軌跡的極坐標方程,并說明它是什么曲線.
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【題目】若函數f(x)的定義域為[0,4],則函數g(x)=f(x)+f(x2)的定義域為( )
A.[0,2]
B.[0,16]
C.[﹣2,2]
D.[﹣2,0]
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x+a=0上存在兩點關于直線l:mx+y+1=0對稱. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)直線l與圓C交于A,B兩點, =﹣3(O為坐標原點),求圓C的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)= ,其中a>0,且函數f(x)的最大值是
(1)求實數a的值;
(2)若函數g(x)=lnf(x)﹣b有兩個零點,求實數b的取值范圍;
(3)若對任意的x∈(0,2),都有f(x)< 成立,求實數k的取值范圍.
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【題目】已知定義在R上的函數f(x)= (a∈R)是奇函數,函數g(x)= 的定義域為(﹣1,+∞).
(1)求a的值;
(2)若g(x)= 在(﹣1,+∞)上遞減,根據單調性的定義求實數m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若函數h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(﹣1,1)上有且僅有兩個不同的零點,求實數m的取值范圍.
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【題目】某校高一(1)班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,可見部分如圖.
(Ⅰ)求分數在[50,60)的頻率及全班人數;
(Ⅱ)求分數在[80,90)之間的頻數,并計算頻率分布直方圖中[80,90)間矩形的高;
(Ⅲ)若要從分數在[80,100)之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況,求在抽取的試卷中,至少有一份分數在[90,100)之間的概率.
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